Définition :
Soit \(A\subset\Bbb R, A\neq\varnothing\)
Le plus petit des majorants (s'il existe) s'appelle la borne supérieure de \(A\) et se note \(\sup A\)
(Majoration - Minoration)
Théorème :
toute partie non vide et majorée de \(\Bbb R\) admet une borne supérieure
Proposition :
\(M\in{\Bbb R}\) est la borne supérieure de \(A\) si et seulement si : $$\begin{align}&\bullet{{\forall a\in A,\quad a\leqslant M}}\\ &\bullet{{\exists(a_n)\in A,\quad\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } a_n=M}}\end{align}$$
(Suite réelle)
Proposition :
Si \(A\underset{A\neq\varnothing}{\subset} \Bbb R\)
Si \(A\) est majorée, alors $$\forall \varepsilon\gt 0, \exists a\in A, \sup(A)-\varepsilon\leqslant a\leqslant\sup(A)+\varepsilon$$
(Ensemble majoré)
